复变函数

积分定义

正向积分是按逆时针方向积分

简单闭曲线的正向

简单闭曲线 C 的正向是指：当曲线上的点 P 沿此方向前进时，邻近 P 点的曲线内部始终位于 P 点的左方。

函数f(z)沿曲线C的积分

\int_{c} f (z) d z = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (ζ_{k}) Δ z_{k}

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这里的积分更像是线积分，而非原来的积分，原来的积分是把下面的部分积分掉，是沿着纯x轴，而这里不一样，这里是沿着一个二维的空间运动

曲线光滑或者逐段光滑，而且连续

复变线积分计算

\int_{c} f (z) d z = \int_{C} u d x - v d y + i \int_{C} v d x + u d y

令 $u = (x + i y) = (x (t) + i y (t))$ 可得：

\int_{C} f (z) d z = \int_{α}^{β} f [z (t)] z^{'} (t) d t

Info

在今后讨论的积分中，总假定被积函数是连续的，曲线 C 是分段光滑的。

Summary

积分计算，先找出Z（即积分路径）的参数方程从而把二元变量转为一元变量，再进行一重积分

积分值和路径圆周的中心与半径无关

\oint_{| z - z_{0} | = r} \frac{1}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z = {\begin{cases} 2 π i, & n = 0, \\ 0, & n \neq 0. \end{cases}

积分中值定理在复变函数中不在成立
具有线性可加性
估值不等式成立 $| f (z) | \leq M 则 | \int_{C} f (z) d z \leq \int_{C} | f (z) d s \leq M L (L 为长度)$

柯西古萨基基本定理

积分结果和路径无关，并且等价于积分沿闭曲线为0
但积分是否与路径有关取决于被积函数的 解析性

设 C 为一条简单闭曲线. 函数 f(z) 在以 C 为边界的有界区域 D 内解析，在闭区域 $\overset{―}{D}$ 上连续。则(内部必须全解析)$$\oint_{C}f(z)dz=0$$
注：为充分条件，不能反用

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利用复合闭路定理把奇点排除

原函数与不定积分

如果函数在单连通域内处处解析则积分 $\int_{C} f (z) d z$ 与区域 D内连结起点及终点的路线无关

如果函数在单连通域D内处处解析(或在D中连续且积分与路径无关) 则函数 $F (z) = \int_{z_{0}}^{Z} f (x) d x 为解析函数，其导数为 f (z)$

原函数的定义: 如果函数 $ϕ (z)$ 在区域 $B$ 内的导数为 $f (z)$ ,即 $ϕ^{'} (z) = f (z)$ , 则称 $ϕ (z)$ 为 $f (z)$ 在区域 $B$ 内的原函数.

称 $f (z)$ 的原函数的一般表达式 $F (z) + c$ （ $c$ 为任意常数）为 $f (z)$ 的不定积分，记作 $$\int f(z)\text{d}z = F(z) + c.$$

主线:
积分与路径无关,所以,可以使用类牛顿莱布尼兹公式,通过原函数直接求解,这一part就是干这件事情

3.4 柯西积分公式

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注 : $\overset{―}{D}$ 表示区域 D 的闭包。闭包的定义是区域 D 加上它的边界。
其推导:^[1]

其作用与意义:
(1) 把函数在 $C$ 内部任一点的值用它在边界上的值表示．
（这是解析函数的又一特征）

(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式．
（这是研究解析函数的有力工具）

(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值．（平均值公式）如果 $C$ 是圆周 $z = z_{0} + R \cdot e^{i θ}$ ，

f (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + R \cdot e^{i θ}) d θ .

Important

复习要看
[[B3_复变函数的积分_2025-10-10_21-04-36.webp]]

设有界区域 $D$ 以正向围线 $C$ (或者复围线)为边界，函数 $f (z)$ 在 $\overset{―}{D}$ 上处处解析，则 $f (z)$ 在 $D$ 内有任意阶的导数，且其在 $D$ 内任一点 $z_{0}$ 的 $n$ 阶导数为：

f^{(n)} (z_{0}) = \frac{n!}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z (n = 1, 2, \dots)

结论：
(1) 解析函数有任意阶导数，并且一个解析函数的导数仍然是解析函数。
(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示，这与实变量函数完全不同。

设函数 $f (z)$ 在单连通域 $B$ 内连续, 且对于 $B$ 内任何一条简单闭曲线 $C$ 都有 $\oint f (z) d z = 0$ , 则 $f (z)$ 在 $B$ 内解析.

其他总结

复数中的圆形： $r e^{i θ}$

#task complete [completion:: 2025-10-19]

柯西积分公式是从复合闭路定理推导而来 ↩︎